Xcas积分能力测试
最近有人向我推荐了 Xcas 这个软件，它是 HP Prime 计算器使用的计算机代数系统的一个开源实现，对其进行了一些微小的测试。
测试环境
在 6.10.5-zen1-1-zen 内核下测试，Xcas 版本 1.9.0，FriCAS 版本 1.3.11 (Built with SBCL 2.4.5)
具体测试
01
先来个比较基础的：
integrate((tan(x)^3+(x+1)*tan(x)^2+tan(x)+x+2)*exp(tan(x)), x)
FriCAS 能给出正确结果：
(1) -> integrate((tan(x)^3+(x+1)*tan(x)^2+tan(x)+x+2)*exp(tan(x)), x)
tan(x)
(1) (tan(x) + x)%e
Type: Union(Expression(Integer),...)
Xcas 积分能力比较弱，给出了非常复杂的答案：
x*exp(tan(x))-15*tan(x)**3*exp(tan(x))+15*tan(x)**5*exp(tan(x))-tan(x)**7*exp(tan(x))...(Omitted)
这是 Risch 算法中最简单的 pure transcendental case 中的 tangent case。
02
integrate((x^2+2*x+1)/((x+1)^6+1),x)
FriCAS 和 Xcas 都可以给出正确的计算结果：
Xcas:
atan(3*(x**3/3+x**2+x)+1)/3
FriCAS:
(2) -> integrate((x^2+2*x+1)/((x+1)^6+1),x)
3 2
atan(x + 3 x + 3 x + 1)
(2) -------------------------
3
Type: Union(Expression(Integer),...)
Axiom Book §1.12 Integration 中是这么说的：一般的分步积分法算不出来这个积分，需要使用 factorization-free 算法。
03
接下来是一个比较困难的积分
integrate(x^-3 * (a * x + b)^(-1/3), x)
FriCAS 能给出正确结果：
(3) -> integrate(x^-3 * (a * x + b)^(-1/3), x)
(3)
2 2 +-+ 3+-+3+-------+2 3+-+2 3+-------+
- 2 a x \|3 log(\|b \|a x + b + \|b \|a x + b + b)
+
2 2 +-+ 3+-+2 3+-------+
4 a x \|3 log(\|b \|a x + b - b)
+
+-+3+-+2 3+-------+ +-+
2 2 2 \|3 \|b \|a x + b + b\|3
12 a x atan(------------------------------)
3 b
+
+-+3+-+3+-------+2
(12 a x - 9 b)\|3 \|b \|a x + b
/
2 2 +-+3+-+
18 b x \|3 \|b
Type: Union(Expression(Integer),...)
Xcas 会给出一个未化简的结果：
3*((4*a**3*((a*x+b)**(1/3))**2*(a*x+b)-7*a**3*b*((a*x+b)**(1/3))**2)/(18*b**2*(a*x)**2)-a**3*1/(b**2*b**(1/3))*ln((b**(1/3))**2+((a*x+b)**(1/3))**2+b**(1/3)*(a*x+b)**(1/3))/27+2*a**3*1/(b**2*b**(1/3))*atan(2*(b**(1/3)/2+(a*x+b)**(1/3))/(sqrt(3)*b**(1/3)))/(9*sqrt(3))+2*1/27*a**3*1/(b**2*b**(1/3))*ln(abs(-b**(1/3)+(a*x+b)**(1/3))))/a
Axiom Book §1.12 Integration 中提到：使用试探法和查表法的程序会失败。AXIOM 使用一个决定性过程算法 (decision procedure，如果解存在，则给出解，否则说明解不存在)，这就是 Risch algorithm，它将积分问题变换成代数问题进行求解。
以及只有 Axiom 会直接给出正确结果，Maxima 会问你 a 是正是负，回答负会得到带虚数的奇怪结果，回答正会得到似乎正确的结果。WolframAlpha 得到包含 Hypergeometric2F1 函数的结果，而 Hypergeometric2F1 函数是个极复杂的级数。
04
integrate(log(1+sqrt(a*x+b))/x,x)
这是一个不可能有初等函数表示的不定积分。
FriCAS 会直接返回原表达式：
(4) -> integrate(log(1+sqrt(a*x+b))/x,x)
x +--------+
++ log(\|b + %A a + 1)
(4) | -------------------- d%A
++ %A
Type: Union(Expression(Integer),...)
Xcas 会进行一些计算：
integrate(2*a*1/a*sqrt(a*x+b)*ln(sqrt(a*x+b)+1)*1/(a*x+b-b)*1/2*a*(sqrt(a*x+b))**-1,x)
Mathematica 给出了带无穷级数的解：
1 + Sqrt[b + a x] 1 + Sqrt[b + a x] 1 + Sqrt[b + a x] 1 + Sqrt[b + a x]
Log[1 + Sqrt[b + a x]] (Log[1 + -----------------] + Log[1 - -----------------]) + PolyLog[2, -(-----------------)] + PolyLog[2, -----------------]
-1 + Sqrt[b] 1 + Sqrt[b] -1 + Sqrt[b] 1 + Sqrt[b]
Axiom Book §1.12 Integration 这么评价：如果一个积分可以被 证明不存在 初等函数表示，Axiom 会原样打印 (Axiom 能证明该积分不存在初等函数表示)
05
integrate(diff(x*sin(x**asin(x)),x),x)
(5) -> integrate(D(x*sin(x^asin x),x),x)
(asin(x) - 1)log(x)
x %e
2 x tan(-----------------------)
2
(5) ---------------------------------
(asin(x) - 1)log(x) 2
x %e
tan(-----------------------) + 1
2
Type: Union(Expression(Integer),...)
FriCAS 能成功计算出来 (虽然不是最简结果，但可能是最正确的，因为奇点啊之类的问题) 但没正确化简；Xcas 算到爆内存了也没算出来。
src/input/rich*.input.pamphlet 里有 167 个 Axiom "implementation incomplete"的积分。
FriCAS 似乎做了一些 implementation，但没有 merge 到 Axiom 中。此外，这些不完整的部分大多和三角函数有关，在三角函数的积分上 Axiom 可能稍差一点。
05.5
D(integrate(1/(x^3 + 2) ,x),x)
FriCAS：
(6) -> D(integrate(1/(x^3 + 2) ,x),x)
1
(6) ------
3
x + 2
Type: Expression(Integer)
Xcas/Sympy：
1/3
1 2 x - 2 1
--------------------- - --------------------------- + -----------------
1/3 2 5/3 2 1/3 2/3 2/3 1/3
(2 x - 2 ) 3 2 (x - 2 x + 2 ) 3 2 (x + 2 )
3 (------------- + 1)
2/3
3 2
Axiom 能化到 1/(x^3 + 2) ，Sympy 还是和以前一样没长进…
06
继续对 Risch 算法进行测试：
integrate(x/sqrt(x^4 + 10*x^2 - 96*x - 71),x)
(7) -> integrate(x/sqrt(x^4 + 10*x^2 - 96*x - 71),x)
(7)
log
+----------------------+
6 4 3 2 | 4 2
(x + 15 x - 80 x + 27 x - 528 x + 781)\|x + 10 x - 96 x - 71
+
8 6 5 4 3 2
x + 20 x - 128 x + 54 x - 1408 x + 3124 x + 10001
/
8
Type: Union(Expression(Integer),...)
Xcas 直接返回了原表达式，至此我认为 Xcas 可能并没有 Risch 算法的相关实现，这也导致了其计算能力偏弱。
后记：八卦一下为什么 Axiom/FriCAS 的符号积分能力这么强
(以下内容主要来源于 Manuel Bronstein 所著的 Symbolic Integration I: Transcendental Functions 一书中，B.F. Caviness 所写的序和作者写的前言)
对于有限项的积分问题，Ritt 在 20 世纪 40 年代取得理论上的突破，这些思想被他的 3 个 PhD：Risch, Singer, Bronstein（此书的作者）进一步发展。
在实现这些算法的程序方面，（80 年代）没有一个系统实现完整的 Risch 算法，最主要的原因是，Risch 发表的内容还存在一些不完整的方面。以 Manuel Bronstein 的 PhD 论文（Integration of Elementary Functions, UCB, 1987）为开端，他开始完善 Risch 算法中缺失的部分。于此同时，他在当时 Axiom 的研发地——IBM Watson 研究中心——工作，实现了几乎完整的初等函数的积分算法（这就是现在 Axiom 中 Risch 积分算法的来源），而且这是所有 Risch 算法的实现中最完善的一个。
在 Bronstein 自己写的前言中提到，Risch 提出了一系列文章，但并不是所有的都发表了，这些松散的成果一般称作 Risch 算法。作者本人对 Risch 算法的扩展也有贡献，比如对非初等函数积分的处理等。
在 Axiom 中， grep 'Manuel Bronstein' src/algebra/* ，可以发现，他是 206 个 Package/Domain/Category 的作者，在 1987-1995 年间进行活跃的开发，除了 Risch 算法之外对 Axiom 作出重要的贡献。遗憾的是他写的 Risch 算法的核心部分几乎没有注释，而且也留下了四种情况（ grep 'implementation incomplete' intalg.spad.pamphlet ）没有实现完全，除了他之外，这些代码几乎没有被改动过，还是 20 年前的样子，但仍然是最完善的 Risch 算法。